Alors si on veut être plus précis, une formule de calcul possible est :
Pour tous n appartenant à l'ensemble des naturels non nul, on associe Un la valeur en Xp d'une rencontre de FP n. On pose U1 = 400.
Un = U(n-1) + 100 × 2^(ent ((n+1)/2))
Avec la LCI (|R, ^ ) pour exposant et la LCI (|R, ent) pour partie entière ou troncature.
Explication :
La forme général de la suite • La suite de valeur est :
400
600
800
1200
1600
...
• Si on soustrait à une valeur la précédente, on obtient la suite de valeur :
200
200
400
400
800
800
1600
1600
...
• Soit :
100×2^1
100×2^1
100×2^2
100×2^2
100×2^3
...
• On cherche donc une fonction qui associe sur N à x les valeurs suivantes :
f (1) = 1
f (2) = 1
f (3) = 2
f (4) = 2
f (5) = 3
...
• On remarque qu'on cherche donc une fonction qui à x associe :
Si x pair, f (x) = x/2 -> trivial
Si x impair, f (x) = (x+1)/2 -> trivial
Donc on a ainsi :
Un = U (n-1) + 100 x 2^(f (n))
avec f (n) qui associe à n :
x/2 si n pair
(x+1)/2 si n impair
Recherche de f (x)• On pose l'hypothèse Qx "f(n) = ent ((x+1)/2)". Nous allons la démontrer par disjonction de cas pair et impair.
• Démonstration par récurrence pour x impair :
Soit Px "Pour x appartenant à N et impair, (x+1)/2=ent (x/2)"
Initialisation :
(1+1)/2 = 1
ent (1/2) = 1
P1 est vrai. Px est initialisé.
Hérédité :
On suppose Px vrai pour un certain x. Demontrons que P(x+2) est vrai.
(x+1)/2 = ent (x/2) -> Hypothèse de récurrence
(x+1)/2 + 1 = ent (x/2) + 1
(x+1+2)/2 = ent (x/2) + ent (1)
((x+2)+1)/2 = ent (x/2 + 1) = ent ((x+2)/2) -> La somme de deux parties entière est la partie entière de la somme.
Donc P(x+2) est vrai. Px est héréditaire.
Comme Px est initialisé et héréditaire, Px est vrai.
• Démonstration pour x pair et naturel. Soit P'x "Pour x appartenant à N et pair, x/2=ent (x/2)"
f (x) = x/2
= 2k/2 -> avec k un naturel non nul car x est pair
= k
Or :
ent ((x+1)/2) = ent ((2k+1)/2) = ent (2k/2 + 1/2) = ent (k) + ent (1/2) -> La somme de deux
parties entière est la
partie entière de la somme.
= ent (k) + 0
= k -> car k est un naturel.
Donc f (x) = ent ((x+1)/2)
P'x est vrai.
Px et P'x sont vrais donc Qx est vrai donc pour tous x naturels, f(x) = ent ((x+1)/2)
Conclusion : Un = U(n-1) + 100 × 2^(ent ((x+1)/2))
Si tu as des questions, tu peux poser. Je sais que c'est mastoc, mais j'ai essayé d'être le plus formel possible (malgré que les math au clavier, c'est $#&@
). Là, je dois lâcher mais je réfléchis à une écriture à base de Uo et n seulement (pas sous forme réciproque)